HPM视角下的讲义领会与难点看法——以“两角差的余弦公式”为例

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HPM视角下的讲义领会与难点看法——以“两角差的余弦公式”为例

HPM视角下的讲义领会与难点看法——以“两角差的余弦公式”为例

张小明

HPM视角下的讲义领会与难点看法——以“两角差的余弦公式”为例

(浙江省诸暨中学,311800)

HPM视角下的讲义领会与难点看法——以“两角差的余弦公式”为例

“两角差的余弦公式”是人事教育版高级中学数学讲义必修4“三角恒等变幻”一章的开始课。对于两角差的余弦公式的表明,讲义给出了鉴于单元圆的好多本领和鉴于坐标表白的向量本领。个中,好多证法僵硬、搀杂,且只表明了锐角的情景,弟子难以接收;而向量证规则天然、简略,且结论实用于大肆角,弟子易于接收。所以,很多教授觉得好多证法毫无须要,进而在熏染中遏止了好多证法。其他,苏教版高级中学数学讲义就直接表露了向量证法,而没有表露好多证法。

那么,人事教育版高级中学数学讲义为什么要“滥用篇幅”给出这种“操劳不谄媚”的好多证法?何如本领化解这一熏染难点?笔者觉得,经过汗青振奋的头绪来解读和看法,题目便能水到渠成。

一、对讲义编写的解读

(一)好多证法探源

古希腊亚历山大晚期的好多学家帕普斯(Pappus,公元4世纪初)所著的《数学汇编》第5卷第4限制是对阿基米德的《论球与圆柱》的评注。个中,帕普斯给出以下好多命题:

设H是以AB为直径的半圆上的一点,CE是半圆在点H处的切线,CH= HE,CD

究竟上,在图1的基础上,咱们不妨进一步考证,帕普斯的这一好多命题和两角和与差的三角函数公式是等价的。这边,咱们以两角差的余弦公式为例来证明:令OE =1,∠FOH=α,∠EOH=β,则有∠EOF=α-β,∠EHG=α,所以OF=OE·cOs(α-β)=COS(α-β),OH=OE.cosβ=cosβ,HE= OE·sinβ=sinβ, OG=OH.cosα= cosαcosβ,GF=JE=HE·sinα=sinαsinβ。又由OF=OG+GF,可得COS(α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ。

由此,即使把图第11中学与上述表明关系的限制“辨别”出来,并放到单元圆中,就能获得图2讲义中供给的好多证法的图形。以是,咱们有来由说,讲义中供给的好多证法是鉴于帕普斯这一好多命题的模子的。

(二)证法演化寻根

早在两千多年前,古希腊数学家希帕科斯(Hipparchus,前180~前125)就运用十分于和、差角三角函数公式的截止创造了暂时所知的第一个弦表。厥后,托勒密(C.Ptole-my,约100~170)也运用十分于和、差角三角函数公式的截止制成了现存最早的弦表。毫无疑义,最早的三角公式都脱胎于好多命题,而正弦、余弦一直被觉得是已知圆内与同一条弧相关的线段。

1748年,欧拉的代表作《无量领略引论》公布。在这本书中,欧拉指出:“三角函数是一种函数线与圆半径的比值。”比方,以角的极点O为圆心,以某定长为半径作圆,由角的一面与圆周的交点P向角的另一面作垂线PM,所得的线段OM(即函数线)与OP的比值即该角的余弦;明显,若OP=1,则OM即是该角的余弦。欧拉的界说既使三角函数有了好多意旨,又将三角函数领略化为点的坐标。更要害的是,如许的界说使三角函数只与角的始边和终边相关,进而将三角函数天然地实行到了大肆角。显而易见,三角函数和圆中的弦一直有着精致的接洽,以至有人将三角函数称为“圆函数”。

贯串上述史实,咱们不丑陋出,从直觉到抽象,是人类看法寰球的基础程序,而三角函数(和角公式)从好多(形)到领略(数)的振奋也印证了这一程序。所以,讲义中先给出好多证法,表明锐角的情景,再给出向量证法,实行到任意角的情景,符合和角公式的汗青振奋程序,是人们看法和角公式的汗青振奋写真。其他,讲义采用的好多证法很好地展现了三角函数和圆中的弦的接洽,是天然的、有迹可循的。

二、对难点产生的看法

既然讲义对好多证法的编排是符合汗青一致性道理的,那么为什么很多师生会觉得好多证法难以接收且没有须要呢?笔者觉得,基础因为在于分割、忽略了三角函数的好多表白。

从讲义的编写来看,人事教育版高级中学数学讲义固然引荐了三角函数的好多表白,即单元圆中的有向线段,但是后续简直不再波及。这启发弟子不足运用三角函数的好多表白处置题目的体味,更没有“将单元圆中的线段表白成某个角的三角函数”的认知和推敲基础。如许一来,引荐两角差的余弦公式的好多证法时,弟子就会倍感高耸,更觉艰难。

从事教育工作授的熏染来看,很多教授在熏染中,一致忽略对三角函数的好多意旨的深刻解说与演练。而形成这一局面包车型的士基础因为是,教授本人对三角函数好多意旨的认知不理念。笔者曾用以下题目对限制教授进行观察:

综上,可知就“两角差的余弦公式”而言,即使在所有“三角函数”单位贯串、体例地安置汗青材料,让弟子领会到三角函数从好多到领略的振奋过程,那么,弟子就不会想不到好多证法,也不会不领会和认可好多证法的价格了;即使教授能领会“三角函数”的汗青振奋头绪,精确地舆解讲义的编痛快图以及不及,灵验地进行熏染加工,那么也能化解这一熏染难点。

三、几点开拓

(一)对讲义编写的开拓

该当说,人事教育版高级中学数学讲义的编写,提防了汗青材料的融人,展现了HPM接洽的基础观念。但是,为了让所融人的汗青材料更好地激动弟子的进修和领会,而不可对立点和承担,还须要提防以下几点:

第一,在讲义的编写上,汗青材料的运用常常是以观赏材料的情势展现的,并中断在“汗青故事”的档次。这种“附加式”常常无法惹起宏大师生的关心,一是由于其基础不直接感化实质的贯串性和体例性,认知的价格不大;二是由于其重要以普及进修爱好为手段,运用的档次较低。所以,要更多地经过“重构式”,让汗青材料以正文的情势展现,并到达“适用常识”的档次,让弟子对汗青材料的价格有更深刻、更多元的看法。比方,经过汗青上数学家的本领精巧回答例题,让弟子领会到,即使从狭小的解题、应考的角度看,数学史也是有效的。人事教育版高级中学数学讲义对“两角差的余弦公式”的编写,就在这方面进行了有益的考查。

第二,在讲义的编写上,汗青材料的运用常常不能面面俱到,而要中心浸透在某些专题中。这是“因地制宜”“简直题目简直领略”的展示。但是,就选定的某个专题而言,汗青材料的运用该当头绪明显、自成体制,使弟子的认知具备贯串性和体例性。人事教育版高级中学数学讲义对“两角差的余弦公式”的编写,就在这方面展现了题目。

其他,当下很多教授一致不足数学史常识。以是,在讲义中融人数学史材料的同时,该当在熏染引导用书中巩固对数学史材料的解读和对数学史材料运用的引导。

(二)对教授熏染的开拓

教授对讲义的解读,直接感化着教授的熏染动作。教授对讲义的解读,既是对讲义文本的二次开拓,又是与讲义编者的对话。所以,教授解读讲义时,既要商量常识的实际情境、数学本质和逻辑接洽,又要商量编写者的基础企图和所熏染生的认知程度。

驰名的HPM学者Tzannakis和Arcavi觉得,在熏染中商量汗青的维度,不妨提高数学教授的学科熏染常识(PCK),扶助弟子进修数学,并为接洽数学的本质和数学振动的振奋供给另一种视角。所以,教授熏染时还要商量常识的汗青振奋,并在汗青振奋的头绪中看法、阐明讲义的编写。

本文系浙江省2015年教科筹备课题《在高级中学数学熏染中实行HPM熏染的动作接洽》(课题编号:2015SC2;62)的阶段性接洽功效之一。

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